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一、简答题

1． 已知，效用函数U=U（X 1, X 2）连续可导，请证明，在商品X 1，X 2之间存在边际替代率递减关系的条件之一是

【答案】

∵满足在消费者预算下的效用最大化，则

又∵x 1，x 2存在边际替代率递减，则单调递减，∴

将代入此式，则：

2． 根据序数效用论者关于消费者均衡的条件:

（1）如果，消费者应该如何调整两种商品的消费数量? 为什么?

（2）比较基数效用论者与序数效用论者关于消费者的均衡条件。

【答案】（1）序数效用论者认为，在两商品的价格、消费者的收入和偏好给定的前提下，

如果

，则消费者增加商品1的需求量，减少商品2的需求量，便可增加效用水平。如图所示，

在F 点，无差异曲线I 1的斜率绝对值MRS 12大于预算线AB 的斜率绝对值。此时，消费者只需从F 点出发，沿着预算线AB 通过增加商品1的数量和减少商品2的数量，就可以增加效用水平，直至达到无差异曲线I 2和预算线AB 的切点E ，即有

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消费者均衡及其调整

为了更好地理解这种调整背后的经济原因，可以举一个具体的例子。譬如，

一方面，不等式左边，表明，在消费中，该消费者的主观偏好表现为此时减少两单

可以解读位商品2并同时增加一单位商品1就能保持效用水平不变; 另一方面，不等式右边

为，在市场上，两种商品的价格均为1，即两商品按市场价格的客观交换比例是1:1，因此，消费者在市场上放弃两单位商品2就可以换取两单位商品1。综上所述，在收入不变的前提下，消费者只需在市场上用两单位商品2换取两单位商品1，便可在消费过程中提高效用水平。其理山是，根据该消费者的主观偏好，既然该消费者减少两单位商品2时仅需增加一单位商品1就能保持效用水平不变，那么，现在消费者在市场上能够用两单位商品2换得两单位商品1，从而使得自己能够增加两单位商品1的消费，他的效用水平自然也就增加了。

类似地，如果，则消费者减少商品1的需求量，增加商品2的需求量，便可增加效用水

。此时，平。图中，在G 点，无差异曲线I 1的斜率绝对值MRS 12小于预算线AB 的斜率绝对值

消费者只需从G 点出发，沿着预算线AB 通过减少商品1的数量和增加商品2的数量，就可以增加效用水平，直至达到无差异曲线I 2和预算线AB 的切点E ，即有 ，从而实现最大效用。（2）基数效用论和序数效用论基于各自对“效用”衡量标准，在分析消费者行为时采用了不同的分析方法。在两商品的价格、消费者的效用函数和收入给定的前提下，基数效用论者使用边际效用分析法，得出消费者效用最大化的均衡条件为

得出消费者效用最大化的均衡条件为。 ; 序数效用论者使用无差异曲线分析法，虽然基数效用论和序数效用论在分析消费者行为时使用的分析方法、理论体系和得到的结论均不相同，但是，只要稍加推导就可以发现，两者的均衡条件在本质上是一致的。具体推导如下:序数效用论者效用最人化的均衡条件

为，其中等式左边的边际替代率可以扩展

为

，整理。这就意味着序数效用论者效用最大化的均衡条件可以改写为

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得，而这恰恰就是基数效用论者效用最大化均衡条件的表达式。

3． 为什么对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低?

【答案】对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低这一悖论就是著

，也称之为“价值悖论”名的“钻石与水悖论”。

约翰·劳认为水之所以用途大、价值小，是因为世界上水的数量远远超过对它的需求; 而用途小的钻石之所以价值人，是因为世界上钻石的数量太少，不能满足人们对它的需求，即物以稀为贵。 马歇尔用供求均衡来解释“价值悖论”。他认为，由于水的供应量极其充足，人们对水所愿支付的价格仅能保持在一个较低的水平; 可是，钻石的供应量却非常少，而需要的人又多，所以，想得到它的人就必须付出超出众人的价格。

边际学派试图用“边际效用”来说明价值悖论。按照边际学派的观点，价格取决于商品的边际效用，而不是总效用。由于水源充足，边际效用很小，所以价格也就很便宜。同理，由于钻石稀缺，边际效用很大，其价格也就相应地昂贵。

二、计算题

4． 垄断厂商面临的需求函数是Q=100-5P，其生产的边际成本恒为10元。在征收每单位2元的消费税之后，试求:

（1）垄断厂商的均衡价格上升了多少?

（2）垄断厂商的利润有什么变化?

【答案】（1）政府未征收消费税时，垄断厂商的边际成本MC=l00

由需求函数可得总收益函数为TR=20Q-0.2Q，则边际收益为MR=20-0.4Q。 2

再结合利润最大化条件MR=MC可得20-0.4Q=10，解得均衡产量为Q=25。从而可得均衡价格为P=20-0.4Q=15。

征收消费税后，厂商的边际成本MC=10+2=12。根据利润最大化条件MR=MC，可得20-0.4Q=12，解得均衡产量为Q=20，进而均衡价格为P=16

所以，政府征收2单位消费税后，使商品价格上升了1元。

（2）政府未征收消费税时，厂商的利润

开征消费税后，厂商的利润

因此，征税使得厂商利润减少了45。

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