● 摘要
随着应用数学的不断发展, 有越来越多的数学学者利用偏微分方程的理论知识科学地解释许多自然、生态、物理等问题,并且取得了许多具有实际意义的研究成果. 本文借鉴前人的一些方法和优秀成果, 研究了一类带有非单调反应函数的捕食-食饵模型. 本文首先讨论了模型在Dirichlet边界条件下正平衡解的存在性、 半平凡解处分歧解的结构、分歧解的稳定性等, 然后讨论模型在Neumann边界条件下正解的持久性、半平凡解的全局渐近稳定性、正常数解的全局渐近稳定性等.
本文的结构及主要内容如下:
第一章主要叙述了捕食-食饵模型的研究背景和目前的研究进展情况, 并给出了一些相关的优秀成果.
第二章研究了在Dirichlet边界条件下, 带非单调反应函数的下述捕食-食饵模型:
首先, 利用抛物型方程和椭圆方程的知识对正解作出先验估计,再利用Leray-Schauder度理论等知识, 结合算子谱分析得出非常数正解存在的充分条件; 其次, 利用分歧理论讨论了在半平凡解处分歧解的结构; 然后, 利用特征值的线性扰动理论讨论分歧解的稳定性; 最后, 研究了平凡解和半平凡解的局部渐近稳定性.
第三章研究了在Neumann边界条件下, 带非单调反应函数的下述捕食-食饵模型:本章内容主要研究平衡解的长时行为. 首先将模型等价为常微模型, 再结合比较原理对非负解作出估计; 然后, 讨论了模型的正解具有持久性的充分条件, 并且分情况讨论了模型半平凡解的全局渐近稳定性; 最后, 讨论了正常数解的全局渐近稳定性、局部渐近稳定性.