● 摘要
在对动力学方程的研究中，通常采用传统的求解方法，如TAYLOR级数法，各级各阶的R-K方法、中心差分法、Wilson 方法和Newmark方法等。由于这些强有力的算法本身耗散系统的能量并使动态响应的相位滞后，因此其长期跟踪能力不尽人意。冯康等人从理论上清楚地阐明了传统经典的动力学算法导致能量耗散的根本原因，建立了哈密尔顿系统辛几何算法。无论对于线性还是非线性系统，辛算法都解决了能量耗散问题，但其还存在相位误差累积。 本文针对有限元动力学方程的求解问题，首先分析了李级数法与经典RNUGE-KUTTA法的关系，然后对李级数法和显式辛算法的相位问题进行了研究，并根据线性系统相位误差修正技术对弱非线性系统的数值求解精度进行了研究，给出了求解动力学方程的一些有益结论。具体如下： (1)对线性自治系统证明了二阶、四阶李级数法分别与Runge-Kutta法中二级二阶改进Euler法和四级四阶经典R-K法的一致性；说明了李级数法和Taylor级数法的一致性，但二者计算导数的方法不同，导致不同的应用价值。分析了李级数法在求解非线性问题时的优越性。 (2)以线性可分Hamilton动力学系统为例，系统研究了李级数算法和显式辛算法的相位精度，研究了李级数算法的保辛精度及其保辛精度的提高方法。指出了显式辛算法相位精度与辛算法阶次的不协调性，即辛算法的阶次高并不意味者其相位精度也高，李级数算法则不存在这种问题。指出了一个算法的相位可能超前也可能滞后。数值结果表明了三阶显式辛算法具有比较高的相位精度。 (3)对于弱非线性系统，即当 比较小时，可以用显式辛算法和李级数法与线性系统的相位修正技术来提高弱非线性系统的数值解精度。但李级数法没有显式辛算法效果好。