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一、简答题

1． 给出在一元线性回归中：

（1）相关系数的定义和直观意义；

（2）判定系数的定义和直观意义；

（3）相关系数和判定系数的关系。

【答案】（1）相关系数是根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量。若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为

称为样本相关系数，记为r 。样本

相关系数的计算公式为：

按上述计算公式计算的相关系数也称为线性相关系数，或称为相关系数。r 仅仅是x 若是根据样本数据计算的，则与y 之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意味着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系，它们之间可能存在非线性相关关系。变量之间的非线性相关程度较大时，就可能会导致r=0。因此，当r=0或很小时，不能轻易得出两个变量之间不存在相关关系的结论，而应结合散点图做出合理的答释。

（2）回归平方和占总平方和的比例称为判定系数，记为其计算公式为：

判定系数测度了回归直线对观测数据的拟合程度。

的取值范围是越接近于1, 表明回归平方和占总平方和的比例越大，回归直线与各观测点越接近，用x 的变化来答释y 值变

差的部分就越多，回归直线的拟合程度就越好；反之，越接近于0, 回归直线的拟合程度就越差。

（3）相关系数和判定系数都是用来表明X 与Y 的关系，即X 对Y 的拟合程度。在一元线性回归中，相关系数实际上是判定系数的平方根。相关系数取值范围在卜之间。判定系数取值范围在[0, 1]之间。

2． 简述方差分析的基本原理。

【答案】方差分析通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。在方差分析中，数据的误差是用平方和来表示的，总平方和可以分解为组间平方和与组内平方和。组内误差只包含随机误差，而组间误差既包括随机误差，也包括系统误差。如果组间误差中只包含随机误差，而没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1; 反之，如果在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含系

统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于1。当这个比值大到某种程度时，就可以说因素的不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响。

3． 什么是方差分析？它与总体均值的检验或检验有什么不同？其优势是什么？

【答案】方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。总体均值的检验或Z 检验，一次只能研宄两个样本，如果要检验多个总体的均值是否相等，那么作这样的两两比较十分烦琐。而且，每次检验两个的做法共需进行

的检验，如果次不同每次检验犯第I 类错误的概率都是0.05, 作多次检验会使犯第I 类错误的概率相应增加，而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累积的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。

方差分析不仅可以提高检验的效率，同时由于它是将所有的样本信息结合在一起，也増加了分析的可靠性。

4． 在盒子图（箱线图）的作图中，会使用哪些描述指标。

【答案】箱线图（Boxplot ）也称箱须图（Box-whiskerPlot ），是利用数据中的五个统计量：最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数与最大值来描述数据的一种方法，它也可以粗略地看出数据是否具有有对称性，分布的分散程度等信息，特别可以用于对几个样本的比较。由上面叙述可知，箱线图使用的描述指标有：最小值、第 一四分位数、中位数、第三四分位数与最大值。

5． 在投掷一枚均匀硬币进行打赌时，出现正面时投掷者赢5元，出现反面时输3元，记投掷者赢钱数为X 。试写出此问题的样本空间

【答案】记赢钱数为

则的函数定义为：

则有

于是X 的概率分布为：

以及随机变量X 的定义和概率分布。 其中 为投掷后出现的两种结果，令

6． 多元回归分析中为什么需要使用修正的判定系数（可决系数）来比较方程的拟合效果？是如何计算的？

【答案】在多元线性回归分析中，常用修正的判定系数，而不用多重判定系数来衡量估计模

型对样本观测值的拟合优度。这是由于多重判定系数

随着样本解释变量个数的增加

来越高（即的值越是解释变量个数的增函数）。也就是说，在样本容量不变的情况，在模型中增加新

不是一个合适的指标，需加以的解释变量不会改变总离差平方和，但可能增加回归平方和，减少残差平方和，从而可能改变模型的解释功能。因此在多元线性回归模型之间比较拟和优度时，

调整。而修正判定系数

归模型方面要优于多重判定系数修正判定系数的计算公式为

其值不会随着解释变量个数k 的増加而增加，因此在用于估计多元回二、计算题

7． 某企业生产三种产品的成本支出资料如表所示。

表

要求：（1）计算总成本指数、单位成本指数和产量指数。

（2）分析各因素变动对总成本指数影响的相对程度和绝对额。

【答案】（1

）令总成本指数为

单位成本指数为

产量指数为则一季度成本支出总额=20+45+35=100（万元），二季度成本支出总额=18+50+52=120（万元）。所以总成本指数为：

单位成本指数为：

甲产品的产量变化为

别为：116.96%和165.08%。

所以产量指数为： 同理可求得乙、丙的产量变化分