● 摘要
小波分析是当前应用数学和工程学中一门迅猛发展的新兴交叉学科，是基于经典Fourier分析而创建的应用十分广泛的理论. 由于小波的应用价值巨大，其构造方法一直是众多学者研究的核心内容之一. 人们发现在频域中构造小波集就是一种构造小波的新方法，进而对小波构造的研究转向了对构造各类小波集的研究. 从最简单的一维 Shannon小波集出发，逐渐转向高维情况研究，人们得到了Shannon小波集的推广形式——矩阵伸缩小波集，经Fourier逆变换后能够得到一类具有弱光滑性和紧支撑性的单正交小波. 但是单小波在应用领域存在一定局限性，单小波处理多信道的彩色图像线性相位不足，促使人们又引入多小波. 多小波能够很好地克服这种缺陷，它拥有更短的支撑，因此多小波的构造成为新的研究方向. 自然而然，人们期望利用单小波的构造方法来构造多小波，进而引入多小波集的概念和多小波集的构造方法.
基于单小波、单小波集和多小波集的研究，本文重点研究了和可分闭子空间X上的实扩张矩阵A-伸缩小波集和A-伸缩多小波集，并取得了一些结论. 本文总共分四个部分：
第一章，绪论. 简要介绍了小波的发展及小波集的研究现状.
第二章，利用相关的集合知识和算子理论，依次给出了和可分闭子空间X中A-伸缩单小波集的充要条件及其证明.
第三章，基于对A-伸缩单小波集的研究，在多分辨分析的前提下，引入A-伸缩多小波集的概念，将A-伸缩单小波集是tile的性质推广到A-伸缩多小波集，利用相关的知识，给出并证明了在中正测度集族是A-伸缩多小波集的充要条件.
第四章， 类比着第三章的结论，引入A-伸缩子空间多小波集的概念，给出并证明了在可分闭子空间X中正测度集族是A-伸缩子空间多小波集的充要条件.