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一、简答题

1． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

2． 已知为一个算符满足如下的两式问何为厄密算符？何为么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

3． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

4． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

5． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

归一化。

6． 什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

7． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

8． 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

9． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

10．什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

二、计算题

11．简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量【答案】

设

和

的对易关系

之间的测不准关系。

和

依次表示

这个关系

是一个算符或普通的数。以

则有

和在态中的平均值，令

式称为测不准关系。 坐标和动量

之间的测不准关系为：

12．设有三个

自旋算符组成的系统，其哈密顿量为试

（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；

（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为

其中

能量与无关，可由

时，能量为

时，能量为

时，能量为

故系统的力学量完全集为完全确定

. .

当完全确定时，能级简并度将仅由可取值个数确定，则

可取值的个数为2, 故简并度为

2.

可取值个数为2，故简并度为

2. 可取值个数为4，故简并度为4.

13．若【

14．氢原子处于状态（1）求轨道角动量的z

分量（3）求总磁矩【答案】⑴

的平均值。 的z 分量

15．设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成

所需的最短时间

任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由

得，

求

答

案

】

（2）求自旋角动量的z

分量的平均值。

的平均值。

即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：