● 摘要
随着科学技术的发展，非线性科学在自然科学和社会科学领域的作用越来越重要，与此同时，对于非线性问题研究也越来越引起人们的广泛关注. 当前非线性科学研究中的三大热点为孤子 (soliton)、混沌 (chaos) 和分形 (fractal). 孤子作为非线性现象的重要研究领域之一，已经有了巨大的发展，并且迅速扩展到流体力学、固体力学、激光、等离子体动力学、光学、凝聚态物理以及其它科学研究领域.在各相关领域，非线性发展方程被用来描述形形色色的非线性现象，如五阶非线性Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada (CDGKS) 方程、(2+1) 维耦合色散长波方程、(2+1) 维Boussinesq方程、广义Burgers-Fisher方程、Klein-Gordon方程等. 考虑到介质的非均匀性以及边界的不一致性，变系数非线性发展方程被引入来更加实际地描述各种复杂的非线性现象，如非线性力学中的变系数Gardner模型、广义变系数KdV方程、变系数浅水波方程、变系数Burgers方程等模型.随着孤子理论的发展，一系列的解析方法也被提出用来研究非线性发展方程的精确解以及方程本身的各种性质特别是完全可积性质如Backlund变换，非线性叠加公式，Lax对等.这些方法包括Painleve检测, 双线性方法, Wronskian技巧，均衡作用法等. 本文主要利用这些解析方法，以及其对变系数非线性发展方程的推广形式来研究本文所涉及的诸模型的精确孤子型解，Backlund变换，非线性叠加公式，Lax对等性质.符号计算是计算机人工智能领域的一个新分支学科, 它具有易于操作和实现的特点, 能够以算法化的形式处理繁复冗长的表达式. 借助计算机符号计算，本文对上述非线性力学中的变系数、高维高阶及耦合形式的较复杂的非线性模型的孤子问题进行了解析研究. 本文的研究内容包括以下几个方面：(1) 利用推广的双线性方法求非线性力学中的变系数模型、高阶方程的双线性形式与N-孤子型解；(2) 运用双线性方法、Painleve分析法、均衡作用法与代数法得到了非线性力学中的变系数模型、高阶方程及高维方程的不同形式的Backlund变换以及相应的孤子型解；(3) 在双线性形式基础上，得到了有关方程的Lax 对以及非线性叠加公式, 使得求解非线性力学中的非线性模型多孤子问题的方法更加丰富； (4) 将求解常系数非线性发展方程N-孤子解的Wronskian技巧推广到非线性力学中的变系数模型，并用其求得广义变系数Korteweg-de Vries (KdV) 模型的N-孤子型解并加以验证; 同时证明了在参数满足一定约束的情况下，双线性形式的Backlund变换为连接 (N-1)-孤子型解和N-孤子型解之间的变换; (5) 利用推广的均衡作用法求非线性力学中的变系数模型、高阶方程及高维方程的精确解.本文的主要方法、结论及内容的具体安排为:一、Hirota双线性方法的变系数推广及应用 Hirota双线性方法是一种直接而有效的求解非线性发展方程精确解的方法之一. 为研究变系数Gardner方程的解及其性质，本文将Hirota双线性方法推广并通过两种不同的变换分两种情况给出了此方程的双线性形式与多孤子型解. 此外，作为流体力学中经典KdV方程的广义形式，本文利用推广的变系数双线性方法给出了广义变系数KdV方程的双线性形式与多孤子型解及相应的约束条件. 另外, 利用Hirota方法还求得了CDGKS方程的双线性形式及其多孤子型解. 借助Mathematica软件，本文给出了所得方程的一些孤子型解的发展图形，并讨论了系数函数对方程解的影响.二、几种求Backlund变换的方法及应用利用符号计算, 本文分别运用求Backlund变换的双线性方法、Painleve分析法、均衡作用法以及代数方法等四种方法得到了不同方程不同形式的Backlund变换. (1) 利用双线性方法求出广义变系数 KdV 方程双线性形式的Backlund 变换. 由所得的双线性形式的Backlund变换，给出了该方程的Lax对及一般形式的Backlund变换，而且利用一般形式的Backlund变换由种子解求得了方程的单孤子解；求出 (2+1) 维Boussinesq方程双线性形式Backlund变换并给出了方程的单孤子型解. 此外，在双线性形式Backlund 变换基础上给出了一般形式的Backlund 变换；借助双线性形式的 Backlund 变换, 本文得到了CDGKS 方程的非线性叠加公式与Lax对. (2) 利用 Painleve分析研究了广义变系数KdV 方程, 得到了该方程具有Painleve性质. 进一步，利用截断的Painleve得到了该方程的一个自Backlund变换, 并给出了该方程的两组解. (3) 利用均衡作用法给出广义Burgers-Fisher方程的Backlund变换及方程的精确解. (4) 利用代数方法得到了 Klein-Gordon方程在 >0、