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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹（Butterworth ）高通滤波器，技术指标为

：

【答案】由题意可知：

可以用两种方法设计离散时间高通滤波器：

法1:先设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z 域进行低通到高通的转换。

法2:在双线性变换前就在s 平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离 散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。 采用法2:设计符合题目要求的离散时间巴特沃兹高通滤波器。 将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域，则有:

用变换

将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，则有：

所以模拟滤波器的选择因子为：

判别因子为：

因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：

取N=3, 则：

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且有：

可取

如取

则所求得的低通巴特沃兹滤波器为：

用低通到高通的转换关系

将低通滤波器转换为高通滤波器：

最后采用双线性变换

2． 两个线性非移变系统以反馈网络并联，如下图所示：

图

假定整个系统是稳定的，以保证的

存在，证明这个反馈网络的频率响应是：

【答案】因为

所以两边取傅单叶变换有

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对上式两端同除以. 有：

3． 已知

求

的傅里叶反变换x （n ）。

【答案】

4． 设滤波器的差分方程为：

及全部一阶节的级联型、并联型结构实现。 【答案】由滤波器差分方程求得传输函数

为：

直接型为图1：

试用直接型、正准型

图1

正准型为图2：

图2

全部一阶节的级联型为图3：

图3

并联型为图4：

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