2017年北京市培养单位国家纳米科学中心811量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 一粒子的波函数【答案】
则粒子位于
间的几率为_____。
2． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率
3． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
4． —粒子的波函数为【答案】
5 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】
6． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
写出粒子在球壳
中被测到的几率_____。
的整数倍；对称变换 写出粒子位于
间的几率的表达式_____。
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
二、选择题
7． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】
8． 下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B.
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可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为
C. D. 【答案】A
再由
最终推导出泡利矩阵只能
【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为
9． 下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为（ ）
.
【答案】A
【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数. 厄米算符定义式为
10．已知体系的哈密顿算符为
下列算符
与对易的有_____。
【答案】
11．中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C
12．（1）【答案】
_____；（2）
_____。
的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确
三、证明题
13．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
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表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
14．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
四、计算题
15．在并将矩阵
的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.
其中本征函数：
求
的本征值和归一化的本征函数，
【答案】（1）设的本征方程为：
容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为
（2）将
表象中
的三个本征矢并列，得到从
表象到
表象变换矩阵
利用变换公式：
16．设氢原子处于状态：
得到的对角化矩阵
（a ）测得该原子的能量的可能值为多少? 相应的概率又为多少？
（b ）测得的角动量分量的可能值和相应概率为多少?[湖南大学2009研] 【答案】（a ）氢原子能级
对应概率为：
对应概率为：
（b ）由题意，m=l, ﹣1，0
而可能取值为故
可能取值有
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a 为玻尔半径. 故氢原子可能能量为