题目：周期复合材料数学均匀化方法的计算精度、物理意义及应用基础研究

复合材料具有密度低，比强度高，比刚度大，耐疲劳和可设计等优点，广泛应用于航天航空领域，并且很多复合材料具有周期结构，如何有效预测其力学行为是急需解决的问题。传统的力学均匀化方法虽然计算效率高，但是忽视了材料的细观结构，只适用于预测材料宏观弹性参数；细网格有限元方法由于网格划分繁琐且计算量大而无法满足工程需求。因此，多种多尺度方法相继诞生，其中数学均匀化方法是最具有代表性的多尺度方法之一，成为分析非连续介质的一种重要手段。本文致力于研究数学均匀化方法在具体应用中的基本问题，以期可以从力学角度对数学均匀化方法有更深刻的理解，并为实际工程应用提供参考。本文的主要工作包括：

(1) 推导了周期复合材料一维杆结构和二维平面结构的数学均匀化方法高阶摄动展开公式，利用加权残量方法将数学公式转换成易于编程的矩阵列式，给出了高阶影响函数矩阵形式通用控制方程。

(2) 根据数学均匀化方法的矩阵形式进行编程计算，分析了计算精度与单元阶次、摄动阶次、外部载荷阶次之间的关系；得到了影响数学均匀化方法计算精度的根本原因，并给出了摄动阶次的选取原则。

(3) 把影响函数控制方程右端项比拟为虚拟载荷，给出平面问题一阶、二阶、三阶虚拟载荷向量的矢量图，根据矢量图的特征和虚拟载荷的量纲分析，得到了一阶、二阶、三阶影响函数以及对应摄动项的物理意义。

(4) 将影响函数比拟为虚拟位移，给出对应的虚拟势能泛函，作为判断不同单胞边界条件精度的准则。通过计算单胞四边固支边界条件下一阶和二阶影响函数的相对误差，证明了该边界条件不适合作为平面单胞问题的边界条件；提出了超单胞过度取样方法，由此得到了高精度单胞边界条件。

(5) 为了提高用数学均匀化方法计算均匀化解的精度低，提出了微分求积数学均匀化方法。该方法使用微分求积有限单元方法求解均匀化位移，并用微分求积法则求解均匀化位移的各阶导数。进而用拉格朗日插值函数得到结构内任意位置的均匀化位移及其各阶导数；使用超单胞过度取样方法计算各阶影响函数，最终得到真实位移。该方法的特点是具有很高的计算效率和计算精度。

(6) 通过矩阵“缩聚”方法得到一维高阶单元出口结点位移为解析解，而内部结点位移精度取决于单元阶次和载荷阶次之间关系的结论。