● 摘要
设 $cal H$, $calK$, $cal L$, $cal M$是复可分希尔伯特空间, $cal B(H)$, $cal B(K,H)$分别表示 $cal H$上的和从$cal K$ 到 $cal H$ 上的 有界线性算子构成的Banach空间.给定算子$Ain {cal B(H, K)} hbox{, } Bin cal B(H, L)hbox{, } Cin cal B(M, L)$, 如果$B$的值域${mathcal R}(B)$ 是闭的,则$B$有Moore-Penrose逆, 即存在唯一的$Xin cal B(L, H)$满足下面四个方程BXB=B(1),XBX=X(2),(BX)^*=BX(3),(XB)^*=XB(4).end设$B{i,j,ldots,k}$ 表示满足上面四个方程中的$(i),(j),$$ldots, (k)$ 的所有算子 $Xin{mathcal B(mathcal K,mathcal H)}$, 且被记为$B^{(i,j,ldots,k)}$. 当${i,j,ldots,k}$中含有$1$时, 则$B^{(i,j,ldots,k)}$叫做算子$B$的${i,j,ldots,k}$-广义逆. 一般情况下, 算子的广义逆不唯一. 近年来, 包含广义逆的矩阵乘积不变性问题吸引了一大批学者的关注,例如, J. K. Baksalary, J"{u}rgen Grob, Yongge Tian, R. Kala, T. Pukkila等, 他们从不同的角度 对该问题进行了深入的研究(参见文献[9-20]).本文主要研究了包含广义逆的算子乘积不变性问题, 推广了J"{u}rgen Gro{ss}和 Yongge Tian (2006) 在 [12]中的和J.K.Baksalary 和 A. Markiewicz (1996)在[10]中的结果.
本文共分为三章, 各章的主要内容如下：
第一章我们用Riesz函数演算的方法给出了算子$AB$和$BA$的Drazin可逆性等价的不同于[6]中的一个证明, 其中算子$A, Bin cal B(H)$. 作为应用, 我们得到了$sigma_D(AB)=sigma_D(BA)$ 和 $sigma_D(A)=sigma_D(widetilde{A})$, 其中 $sigma_D(M)$ 和 $widetilde{M}$分别表示一个算子$Min cal B(H)$的 Drazin 谱 和 算子 $M$的 Aluthge 变换.
第二章我们主要得到了当给定三个算子$Ain cal B(H, K)$, $Bin cal B(H, L)$, $Cin cal B(M, L)$, 三个算子$AXC$乘积和值域与$X$的选取无关的一些充要条件, 其中算子$B$的值域${mathcal R}(B)$是闭的， $X$ 是算子$B$的不同种类的广义逆. 这将 J"{u}rgen Gro{ss}和 Yongge Tian 在 [12] 中的主要结论推广到了无限维的情况.这里需要指出的是在证明中我们应用了算子分块矩阵技巧和解算子方程的方法, 这与J"{u}rgen Gro{ss} 和 Yongge Tian 所用的思想是完全不同的.
第三章我们利用算子矩阵分块技巧给出了egin{equation}igcup_{B^{(1)}inB{1}}sigma(AB^{(1)}C)=mathbb{C}end{equation}成立 的充分必要条件，其中算子$Ain {mathcal B(H, K)}, Bin {mathcal B(H, L)}, Cin {mathcal B(K, L)}$给定, 算子$B$的值域${mathcal R}(B)$ 是闭的, $sigma(D)$ 是算子 $Din mathcal B(H)$ 的谱，$B^{(1)}$ 是算子$B$的 ${1}$-逆. 需要指出的是我们不仅给出了(2)式对于Hilbert 空间上的三个有界线性算子成立的充分必要条件, 而且我们进一步指出[10]中定理B-M中给的充分条件就是式(2)成立的充分必要条件. 这里我们所用的思想, 方法和[10]中的是完全不同的.