● 摘要
变分不等式可看作为求解优化问题、平衡问题以及与它们相联系的问题的一致框架,并且广泛地出现在信号和图像处理、系统识别、滤波设计、自动控制、经济科学、运输科学、运筹学、非线性分析等领域. 特别地, 数学、物理和工程领域的许多问题都可以转化为它. 在许多科学和工程技术领域中, 往往要求实时求解变分不等式, 由于计算时间依赖问题的规模和结构以及所采用的算法, 传统数值方法并不能满足实时性要求.基于电路实现的人工智能神经网络是处理高维, 稠密结构问题的一个可行的方法.由于内在的动态本质和电路实现的潜在能力, 神经网络可以用集成电路等硬件等实现. 因此, 神经网络比传统优化算法能更快地求解优化问题, 并且建立神经网络来实时求解变分不等式问题具有实际意义.
基于优化理论、射影理论,本文考虑了两类新的非线性变分不等式,分别提出了求解它们的神经网络,应用微分方程组的稳定性理论和LaSalle不变原理严格证明了这些网络的各种渐近行为,包括稳定性、收敛性和指数稳定性.用数值实例说明了这些网络的可行性.
全文分三部分.第一部分简单概述了变分不等式的意义及研究现状、射影理论、微分方程组的稳定性理论和LaSalle不变原理等基本理论.
第二部分讨论了如下一类非线性变分不等式问题: 找向量$((x^*)^T,(y^*)^T)^Tin K imes K$, 使$$left{ egin{array}{ll}langle
ho T(y^{ast})+x^{ast}-y^{ast}, x-x^{ast}
anglegeq0, qquad forall xin K,
ho > 0, \langle gamma T(x^{ast})+y^{ast}-x^{ast}, x-y^{ast}
anglegeq 0, qquad forall xin K, gamma > 0, end{array}
ight.$$其中$K$是实Hilbert空间中的闭凸子集, $T:KlongrightarrowH$的映射,提出了求解它的一个神经网络模型：$$frac{du}{dt} =-lambdaleft( egin{array}{c} x-P_K(y-
ho T(y)) \ y-P_K(x-gamma T(x))\ end{array}
ight).$$其中$ lambda> 0$是设计参数.在映射弱强制的条件下,严格证明了该网络是$Lyapunov$稳定的, 并且渐进收敛于原问题的一个精确解.此外, 在适当的条件下证明了该模型的指数稳定性.
第三部分考虑了如下一类非线性隐式变分不等式问题: 找向量$x^*in K$, 使$$langle T(x^{ast},x^{ast}), x-x^{ast}
anglegeq0, qquad forall xin K,$$其中$K$是实Hilbert空间中的闭凸子集, $T:K imes KlongrightarrowH$的映射. 根据问题的结构特点，构造了求解它的神经网络,建立了网络模型的平衡点与原问题解之间的关系,并证明了网络模型的稳定性和收敛性.