2017年陕西师范大学物理学与信息技术学院750量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
2． 完全描述电子运动的旋量波函数为
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
的几率。
位置
在
处的几率密度
；
试述
及
3． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.
叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.
4． —个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
5． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】
6． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合
7． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
8． 现有三种能级【答案】一维谐振子．
9． 波函数
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
是否描述同一状态？
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
10．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为
为实函数，但
可以为复函数。
二、证明题
11．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
即都为自旋分量的本征态。在
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
和
12．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
表示所属的本征函数，则
因为是厄密算符，于是有
由此得
即是实数。
三、计算题
13．自旋为时，粒子处于（2）求出t ＞0时
固有磁矩为
的状态。
的可测值及相应的取值几率。
（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场
中，设t=0
（1）求出t ＞0时的波函数； 【答案】（1）体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为：在t= 0时，粒子处于为了求出
的状态，即
在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程：
解得:于是，有：
由于，哈密顿算符不显含时间，故/>0时刻的波函数为：
（2）因为
所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计
算t=0时的取值几率就知道了t ＞0时的取值几率。 由于
的取值几率为：
因此有：
其中，为自的解为：
故有：
14．设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量
本征值为
因此定态方程
的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。