2017年陕西师范大学物理学与信息技术学院750量子力学考研题库
● 摘要
一、简答题
1． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
2． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
3． 归一化波函数是否可以含有任意相因子 【答案】可以。因为即用任意相因子
如果
对整个空间积分等于1，则
对整个空间积分也等于1。
去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
归一化。
4． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
5． 完全描述电子运动的旋量波函数为
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
的几率。
位置
在
处的几率密度
；
试述
及
6． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
7． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几
率波。
8． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
9． 什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
10．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
二、证明题
11．粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
，（常数）
同理，可得
因此：
12．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意
并在方程两边同时积分
又
则
则由正交归一化条件有
试证明的不确定关系
：
所以有：
是束缚态的波函数，
试证明这两个波函数对应的态矢正交.
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有此即
亦即两个波函数对应态矢正交.
三、计算题
13．求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，
哈密顿量为
【答案】记常数，且x ，p 换为
则哈密顿量可时的哈密顿量
对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以
14．已知（1）利用（2）求
在
的本征态
在
相比，相差一
是泡利矩阵，表象中的表达式，求
在
可由
的本征态经绕x 轴转动
表象中的本征态矢
试由此
角的坐标变换而得，即
表象的表达式，并与（1）所得结果比较。
【答案】（1）易知：
设
本征矢
则
即
（2）由题意可得：