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一、计算题

1． 如图1所示, 一小球的质量为m , 紧系在完全弹性的线AB 的中部, 线长21. 设线完全拉紧时张力的大小为F , 当球作水平运动时, 张力不变. 重力忽略不计. 试证明小球在水平线上的微幅振动为谐振动, 并求其周期

.

图1

【答案】

图2

取小球为研究对象, 受力分析如图2所示, 其平衡位置为坐标原点, 则小球的运动微分方程是:

又微幅振动条件下:

则运动微分方程可化为:

即为简谐振动的微分方程. 所以小球运动周期为:

2． 刚体作定轴转动，其上某点A 到转轴距离为R 。为求出刚体上任意点在某一瞬时的速度和加速度的大小，下述哪组条件是充分的？

（1）已知点A 的速度及该点的全加速度方向； （2）已知点A 的切向加速度及法向加速度； （3）已知点A 的切向加速度及该点的全加速度方向； （4）已知点A 的法向加速度及该点的速度； （5）已知点A 的法向加速度及该点全加速度的方向。 【答案】（1）由点A 的速度，可知刚体的角速度法向夹角为条件充分。

（3）点A 的切向加速度及该点的合加速度方向已知，以此可求出刚体在此瞬间的角速度和角加速度，此组条件充分。

（4）点A 的法向加速度与速度已知，无法求出其角加速度，此组条件不充分。

（5）点A 的法向加速度及全加速度方向已知，可以求出此时的瞬时加速度与角速度，此组条件充分。

3． 图1所示平面机构中，曲柄OA=R，以角速度绕O 轴转动。齿条AB 与半径为轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角

时，齿轮的角速度。

的齿

则

已知，则可得角加速度

又已知该点的合速度大小，设其与

和角加速度

可以求得，此组

故此组条件是充分的。

（2）点A 的切向、法向加速度已知，则刚体的瞬时角速度

图1

【答案】速度分析，如图2所本。

图2

由速度投影定理可得其中解得所以

4． 如图1所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂曲线，下垂距离线杆间距离两端的拉力。

电线ACB 段重

两电

可近似认为沿AB 连线均匀分布。求电线的中点和

图1

【答案】由对称性可知，在C 点处的拉力为水平方向，取AC 段为研究对象，受力如图2所示。

图2

由平衡方程

可得

其中

解得