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一、填空题

1． 如图所示，有一势场为：

，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。

图

【答案】

2． 一粒子的波函数【答案】

则粒子位于间的几率为_____。

3． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。

【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子

4． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率

5． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

6． —粒子的波函数为【答案】

的整数倍；对称变换 写出粒子位于

间的几率的表达式_____。

二、选择题

7． 一维运动中，

哈密顿量【答案】

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8． 一维自由电子被限制在x 和处两个不可穿透壁之间

，埃，如果是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

由题意，基态能量为

则可知，

较高级能量与基态能量比值为

则第一激发态能量为

9． 量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系

10．假定角动量平方算符的选择为（ ）

【答案】C

11．如两力学量算符【答案】0

12．设粒子处于态（ ）。

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的本征值分别为和如果则可能是本征值

有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为_____。

为归一化的球谐函数，则的平均值为

【答案】B

三、证明题

13．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因为存在

数

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

而

所以

设本征方程为

其中为本征值，上式可改写为

易解出

C 为积分常数，可由归一化条

即为厄米算符。

具有周期性，

所以

即本征值为实

【答案】（1）证：对于厄米算符

件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，

由此可得数记为

即为其本征函数. 相应的本征方程为

14．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

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即角动量z 分量的本征值为是量子化的，相应本征函

再利用归一化条件可得

是束缚态的波函数，

试证明这两个波函数对应的态矢正交.