● 摘要
本文引入了冗余框架的有关概念，并给出了框架冗余的充分必要条件.特别地, 探讨了框架是非冗余的充要条件, 并在此基础上分析了它对小波重构的影响.在C¤- 代数中, 本文主要讨论了含单位元的C¤- 代数中的几何平均值与反调和平均值的逆问题. 另外, 也初步研究了幂等算子代数. 全文共分四章:第一章主要介绍了本文中用到的一些符号及定义, 和以后各章要用到的一些定理等. 第一节回顾了Hilbert 空间中的框架, 冗余框架, 非冗余框架, 正可逆算子, 框架算子, 几何平均值, 反调和平均值, 幂等算子代数等概念, 以及它们所具有的一些基本性质. 第二节主要给出了以后各章要用到的一些定理及结论.第二章首先引入了冗余框架的概念, 讨论了框架冗余的一个充要条件, 给出了框架非冗余性的几个等价刻画.第三章首先讨论了C¤- 代数中的以下两个非线性方程a = c(x; y) := x + y ¡ 2(x¡1 + y¡1); b = x]y (1)和( x = a + 2bx¡1b;y = x ¡ by¡1b:(2)其次, 给出了(1) 是可解的充要条件为b · a, 并说明了在这种情况下,(t; y§) 是方程(2) 的极解.第四章研究了幂等算子代数, 得到了有关幂等算子代数的一些重要性质, 最后给出了一个算子代数是幂等算子代数的充分条件, 证明：若 不含单位元, 对所有的包含于 的A, 存在一个非零复数¸A, 使得ran(A) µ ker(A¡¸A), 那么 就是一个幂等算子代数.
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