2017年安徽大学F36概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量U 服从（-2, 2）上的均匀分布, 定义X 和Y 如下:
试求
【答案】先求X+Y的分布列. 因为X+Y的可能取值是-2, 0, 2. 所以
综上可得X+Y的分布列
表
此分布对称, 所以
2． 设
为取自泊松分布
从而得的随机样本.
的水平
的检验.
的图像.
（1）试给出单边假设检验问题（2）求此检验的势函数【答案】（1）选形式
为
在A=0.05，0.2，0.3，…，0.9时的值，并画出
为检验统计量，其值愈大愈倾向于拒绝注意到
在
当
c=5
时时
，
所以，该检验问题的拒绝域
，从而第一类错误概率
为
当
c=6
时
，
因此，该检验问题的拒绝域为
（2）势函数的计算公式为：
则
时的势计算如下表：
表
势函数图如图:
图
3． 系统由n 个部件组成. 记
为第i 个部件能持续工作的时间, 如果
独立同分布,
且
试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:
（1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为
所以
的密度函数和分布函数分别为
（1）根据题意,
系统持续工作的时间为
而当t>0时
这是参数为
的指数分布, 所以
所以, 当t>0时
所以系统持续工作的平均时间为
4． 每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99%的把握击中飞机，需要几门高射炮？
【答案】设共需要n 门高射炮，
记事件
而
由此得击中飞机.
所以, 当t<0时,
密度函数
（2）根据题意, 系统持续工作的时间为
为“第i 门炮射击命中目标”，i=l，2，…，n.
则
两边取对数解得所以取n=13，可以有99%的把握
5． 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以X ，Y ，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
（I
）求
。
（II ）求二维随机变量（x ，y ）的概率分布。
【答案】由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为（I
）
（II ）X ，Y 的可能取值均为0，1，2，且
所以二维随机变量f （x ，y ）的概率分布为
表
【评注】本题为基础题型. 古典概型概率计算公式如下：
6． 设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x+y=l所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比，试求此质点还满足y<2x的概率是多少？
【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，为此将样本空间用图表出，图中阴影部分为事件A ，由图2
知
和事件A“此质点满足y<2x”
由此得
和A 的度量分别为：