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一、填空题

1．

当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.

【答案】测量的干扰

【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.

2． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

3． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即

描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为

是归一的，则决定系数的表达式为_____。

_____。

（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）

以及正交归一化条件

在上式两边乘以

有

并积分得

（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结

【解析】由平均值定义式（3）

为确定

在上式两边乘以有

而概率应该为

为定值.

并积分得

考虑到正交归一化条件

有

【解析】由题意

4 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】

5． 一粒子的波函数【答案】

写出粒子在球壳 则粒子位于

中被测到的几率_____。

间的几率为_____。

6． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象

；

二、计算题

7． 自旋为时，粒子处于（2）求出t ＞0时

固有磁矩为

的状态。

的可测值及相应的取值几率。

（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场

中，设t=0

（1）求出t ＞0时的波函数； 【答案】（1）体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为：在t= 0时，粒子处于为了求出

的状态，即

在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程：

解得:于是，有：

由于，哈密顿算符不显含时间，故/>0时刻的波函数为：

（2）因为

所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计

算t=0时的取值几率就知道了t ＞0时的取值几率。 由于

的取值几率为：

故有：

因此有：

8． 考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。

图

【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为式中

9． 自旋在

此即所求表达式. 方向的粒子，磁矩为

置于沿z

方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其

【积分未完成】

概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在

方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的

变化。这时的哈密顿矩阵为：

式中，

是泡利矩阵，

为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩

与角动量的方

向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：

即：