2017年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研题库
● 摘要
一、填空题
1．
一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】
、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与
、a 的关系是 ; 哈
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
2． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性
【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说诞生奠定了基础.
3． —粒子的波函数为【答案】
4 设体系的状态波函数为．量
的关系为_____。
如在该状态下测量力学是F 在确定的值
则力学量算符与态矢
爱因斯坦后来将此应用到了光电效应
上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的
写出粒子位于间的几率的表达式_____。
【答案】
5． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性
6． 总散射截面Q 与微分散射截面【答案】
的关系是_____。
二、简答题
7． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
8． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
9． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。
10．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
11．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
的对易关系.
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
12．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
13．自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
14．在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
三、证明题
15．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
16．粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
，（常数）
所以
试证明的不确定关系
：
所以有：
同理，可得因此：
四、计算题
17．已知二阶矩阵A 、B 满足：【答案】根据定义由于
故得：
有：
在B 表象中，求出矩阵A 、B 。
由此式求出B 的本征值为0，1。
在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：
设：
则有：
由③可得：由③可得：由式⑤、⑥可得：示：
由①、⑦表示的A 、B 已满足题设条件。故α可取实数。令α=0, 则:
18．已知
分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，
证明
是
的本征态，并就
可取
，代入②式，即得B 表象中A 的矩阵表为实数）
为电子的总角动量。（）
的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
两种情况分别求出其
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