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一、简答题

1． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

时有确定的测值。

2． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

3． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

4． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

5． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

6． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。

7． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

的物理含义是什

8． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

9． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

10．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

依题意

二、证明题

11．（1）设（2）试将【答案】（1）

与pauli 算符对易，证明

表示成

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

化简可得：

（2）

12．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

三、计算题

13．设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量

本征值为

因此定态方程

t 时刻，电子波函数满足：

因为

故：

所以：

14．验证球面波

满足自由粒子的薛定谔方程：

（注：【答案】

故

其中

代表仅与角度有关的微分算符）

其中，为自的解为：

的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。

则

故

由（1）（2）（3）式可得

此即所需证明方程.