2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数(数学)考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
2． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】秩
3． 齐次线性方程组
未知量个数，
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
4． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组
5． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
线性无关.
的3个线性无关的解，
为任意
线性无关.
二、分析计算题
6． 设是欧氏空间V 的某的度量阵为
（1）求W 的标准正交基. （2）求的维数和一组基. 【答案】（1）因为组基.
先正交化. 取
因为
与
线性无关，
所以
为W 的一
所以
再单位化得W 的标准正交基
（2）因为令
则
7．
设
构成V 的正交基. 因此有
是欧氏空间V 的线性变换
，
为
的一组基.
都
有
所以
又显见
构成V 的基，且
正交.
是V 的一个变换，
且
证明：（1）是V 的线性变换； （2）的值域【答案】（1）
等于的核
的正交补 由题设可得
由的任意性知
同理，
有
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