2017年太原理工大学物理与光电工程学院874量子力学之量子力学导论考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
2． 如图所示，有一势场为：
，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。
图
【答案】
3．
一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】
、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
4． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性
5． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。 【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子
6． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即
描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为
是归一的，则决定系数的表达式为_____。
_____。
（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。
第 2 页，共 47 页
（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）
在上式两边乘以
有
并积分得
【解析】由平均值定义式（3）
为确定
以及正交归一化条件有
【解析】由题意考虑到正交归一化条件而概率应该为
在上式两边乘以有
并积分得
为定值.
二、简答题
7． 现有三种能级【答案】
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
8． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
9． 如果算符表示力学量那么当体系处于
的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
10．什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
第 3 页，共 47 页
问是否
11．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
12．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
13．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
的本征态
时，算符对
的作
时，算符对态
，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）
14．斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
三、计算题
15．为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。 【答案】
16．粒子在势场作【
答
案
】
利
用
波
函
数
的
由重新代入
得：
表达式，得：
归
一
化
公
式
中运动，其中
试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取
故基态能量的上限为：
第 4 页，共 47 页