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一、简答题

1． 写出在【答案】

表象中的泡利矩阵。

它的本征值

2．

假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

其中

3． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

归一化。

4． 什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

5． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

6． 现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

7． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计

规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

8． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

9． 写出泡利矩阵。 【答案】

10．完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

测不准关系为

二、计算题

11．设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.

【答案】氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数

所以氢原子能量的取值为角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：

几率1/4，

几率3/4，

其平均值

几率为1，能量的平均值为

几率为1，其平均值为

12．求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记常数，且x ，p 换为

则哈密顿量可时的哈密顿量

对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

13．设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成

所需的最短时间

任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由

得，

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

相比，相差一

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：

在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为

（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设

时刻粒子的波函数是

处于第一激发态的几率

即

可得

所以当n=l时有最小时间，即

解得

14．在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：