● 摘要
算子代数理论产生于 20世纪30年代,随着这一学科的迅速发展,它已成为现代数学中的一个热门分支,它与量子力学, 非交换几何, 线型系统和控制理论,甚至数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透.为了进一步探讨算子代数的结构,近年来,国内外许多学者对算子代数上的线性映射进行了深入研究,并不断提出新的思路.例如:局部映射,双局部映射,线性保持问题等概念先后被引入和研究.目前这些映射已经成为研究算子代数不可或缺的重要工具.而在众多代数中,套代数是一类非常重要的非自伴非半素的算子代数,它的无限维情形比较复杂,但其有限维模型是上三角矩阵块代数.本文主要对上三角矩阵代数到其双模上的广义Jordan导子,广义导子和广义反导子的一些性质进行了研究,具体内容如下:
第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号,定义以及本文要用到的一些已知结论和定理.第二节我们介绍了广义Jordan导子,广义导子,素环,半素环等概念.第三节主要给出了本文中所需的一个命题.
第二章首先对一个半素的复的赋范 *-代数$mathcal{A}$上的线性映射 $delta$进行了研究,证明了如果对任意的投影$p in mathcal{P_{A}},$ 都有$delta(p)=pdelta(p)+delta(p)p-pdelta(I)p ,$那么对于任意的$w in mathcal{D_{A}},$有$delta(w)=wdelta(w)+delta(w)w-wdelta(I)w .$ 另外,如果$mathcal{D_{A}}$ 在 $mathcal{H_{A}}$ 中是稠密的,且$delta$是连续的,那么$delta$是$mathcal{A}$上的一个广义Jordan导子,进而是一个广义导子.其次证明了从一个非交换的含单位元$I$的单环到其2和3非挠的代数双模上的广义 Jordan 导子是一个广义导子.
第三章主要证明了从2-非挠的上三角矩阵代数到其2－非挠的双模上的广义Jordan导子可以分解成一个广义导子和反导子的和,并且在定义了对角线上的反导子为零的情况下,分解是唯一的.
第四章中我们首先引入了广义反导子的概念,并且对广义反导子的一些性质进行了讨论,证明了从上三角矩阵代数到其一些矩阵双模上不存在真的广义反导子.
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