2018年北京工商大学理学院716量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
它的本征值
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为二级近似能量为其中
2． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
二、计算题
3． 算符
相应的本征矢在表象中的表示。 【答案】因为
如
所以，它的本征值为
则
故
是电子自旋算符
经么正变换而得。试求出它的本征值和
相应的本征值在表象中的表示：
本征值为本征表示为
本征值为本征表示为
4． 设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量
本征值为
因此定态方程
t 时刻，电子波函数满足：
因为
故：
所以：
5． 已知二阶矩阵A 、B 满足：【答案】根据定义由于
故得：
有：
其中，为自的解为：
的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。
在B 表象中，求出矩阵A 、B 。
由此式求出B 的本征值为0，1。
在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：
设：
则有：
由③可得：由③可得：由式⑤、⑥可得：表示：
由①、⑦表示的A 、B 已满足题设条件。故α可取实数。令α=0, 则:
6． 两个电子处于自旋单态，
分别表示两个电子的
算符。设的平均值。 则:
由于
（在
表象），
（在
表象），则
而
解法二：
所以有：
解法三：
电子都处于自旋单态，故而
所以有：
7． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若
1，说的本征值为±
所以有：
其中，
因为两个
为空间任意给定的
可取
为实数），代入②式，即得B 表象中A 的矩阵
两个方向的单位矢量，求关联系数C （a , b ），即
【答案】解法一：取为z 轴，在（x ，z ）平面与夹角为
的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符