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一、选择题

1． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

的可能值为_____

_____，坐标和动量

的对易关系是_____。

为归一化波函数的平均值为_____。

为归一化的球谐函数，则

2． 角动量算符满足的对易关系为【答案】

3． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】

4． —维问题中的哈密顿量为

【答案】C

5． 下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B. C. D. 【答案】A

【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为

与之对应，

若体系处在由波函数再由

最终推导出泡利矩阵只能

哈密顿与坐标的对易式

（ ）。

6． 在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符

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描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。

【答案】B

【解析】物理量平均值定义

为

考虑到正交归一化条件

分别为物理量本征值及取值概率，

而和力学量算符的厄米性，于是

二、简答题

7． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

8． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

9． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

10．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

11．扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

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依题意

理论根据：电矩m 矩阵元

12．什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

13．归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

归一化。

14．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

问

是否

时，算符对态

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

15．什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

16．自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

三、计算题

17．粒子在势场作【

答

案

】

利

用

波

函

数

的

由重新代入

得：

表达式，得：

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中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

归

一

化

公

式