● 摘要
随着计算机与数学的紧密结合，数学机械化的理论和应用都取得了快速的进展。符号计算的理论和技术在这一进程中发挥了重要的作用。Gröbner基方法在符号与代数计算中对于解决各种问题发挥了很大效力。各种非交换代数情形的Gröbner基已经成为研究线性偏微分-差分方程系各种算法问题的有力工具。微分差分代数系统是在各科学分支中有广泛应用的数学对象，用符号计算的理论和方法对其相关代数及模的结构和有关算法进行研究，有重要的理论和实际意义，对微分差分代数方程组的性质和解法有重要应用。
本博士论文主要研究线性微分差分代数系统的Gröbner基理论和算法以及微分差分维数多项式理论和性质，把Gröbner基等符号计算技术推广到各种微分差分代数系统，并利用广义项序Gröbner基研究微分差分维数多项式的机械化算法及算法实现问题。主要贡献有如下几个方面。
（1）利用基环具有可分离性和系数之间的约化关系，提出了系数集为（满足一定条件的）交换环的微分差分模上Gröbner基理论和实现算法。这项工作是M.Zhou和F.Winkler对微分差分模上Gröbner基理论和算法研究的延伸。更确切地说，我们对于系数不为域而是某些特殊类型交换环的微分差分模，给出了算法设计过程中系数约化条件与乘积系数的改变之间的规律，以及约化的每一步骤系数的变化与所依赖的算子的关系，给出了完整的约化判定条件，并据此计算广义S-多项式的系数约化条件，建立了该类微分差分Gröbner基算法。
系数集限制在某些特殊函数环上的线性微分差分系统在实际应用中有较特别的地位。1998年Insa和Pauer研究了系数为交换环的微分模上Gröbner基理论，是这方面研究的开端。2007年M.Zhou和F.Winkler，2011年X.Ma,Y.Sun和D.Wang进一步改进和发展了Insa的结果。而对系数为交换环的微分差分混合代数系统，尚未有相应的Gröbner基理论和算法。我们的工作推进了这方面的研究，相关结果已经发表于《SCIENCE CHINA：Mathematics》。
（2）在域上微分差分模的研究方面，针对相对Gröbner基和双变量微分差分维数多项式算法中涉及多个项序的问题，我们提出了项序相容性的概念和刻画，并利用项序相容性提出了相对Gröbner基算法可终止的条件，证明了双变量微分差分维数多项式算法中所涉及的广义项序满足相容性，从而证明了双变量微分差分维数多项式算法的终止性。
M.Zhou和F.Winkler在研究微分差分双变量维数多项式算法中，相对Gröbner基是主要工具。.Dönch（2013）指出，在判定S-多项式是否相对约化到0时，这些项序需要满足一些条件，否则将出现算法无法终止情形。我们这项工作是对M.Zhou和F.Winkler，C.Dönch相关工作的继续。相关结果已经发表于《Frontiers of Mathematics in China》。
（3）提出了微分差分算子环上一类具有参数指数的多项式生成的参数理想族的一致Gröbner基的算法。这一工作是多项式代数中参数指数多项式生成的多项式理想的一致Gröbner基算法在微分代数中的推广。由于微分差分算子环的特殊性，我们运用了与多项式代数中不同的方法。我们通过环同态下项序的性质，提出了微分差分算子环上理想族具有一致首项理想的条件, 克服了在特殊的微分差分算子环中计算S-多项式及运用Buchberger准则时所遇到的指数参数无法消除的困难，并由此构作出所需要的一致Gröbner基。相关结果已投稿。