2016年西北工业大学852系统分析与综合控制之《运筹学教程》考研必备复习题库及答案
● 摘要
一、计算题
1． 某投资者，若投资项目A ，一年后肯定获得收益C ; 若投资项目B ，一年后收益不确定，收益为C 1的概率为P ，收益为C 2的概率为1一P 。在c 1 【答案】投资项目A 的期望收益为C 投资项目B 的收益为若选择投资项目A , 则 。 同理，若选择项目B ，则所以, 当当当 时选择项目B 时选择项目A 或项目B 之一均可以。 时选择项目A 。 , 即 。 , 变形得 , 又由于 , 所以 2． 某建筑公司最近几年的发展重点是承接中东等地区的建筑项目。公司需要一种大型的建筑设备，该设备 今后4年的购买价格（预测值）分别为（5 .0，5.3，5.7，6.0）（万元）（产品购买价+运输到工地的费用）。如该设备连 续使用，其第i 年的使用费及维修费分别为（l ，1.7，2.5，3.3），（万元）由于路途遥远，淘汰后的设备就在当地折价 处理了，使用满i 年的设备处理价格为（3.3，2.5，1.5，0.8）（万元）. 公司在制定一个4年的设备购买计划，你有什 么建议? （限用图论理论，写出算法，计算过程，最终结论，最佳总费用） 【答案】可以把这个问题转化为最短路问题，根据题意绘制如下赋权有向图。 图 采用Dijksra 算法计算图1中的最短路为: （l ）对起点1进行P 标号，即p （l ）=0; 对其余点进行T 标号， 即检查点1，进行T 标号： 第 2 页，共 23 页 （2）点2获得P 标号，. （3）点3获得P 标号，（4）点4获得P 标号，（5）点5获得P 标号，）上图中的最短路为 检查点2，修改T 标号:检查点3，修改T 标号:检查点4，无需修改T 标号。 求解结束。 。即第一年初购进一台设备，第三年初淘汰掉并购置新设备，直至第 四年末淘汰 掉。最佳总费用11.1万元。 二、证明题 3． 现有一个线性规划问题（P 1）: , 其对偶问题的最优解为Y*=（y1, y2, y3, …ym ） 另有一线性规划（P 2）: 【答案】问题（P 2）的对偶问题为: 问题（P 2）的对偶问题为: 其中，d=（d 1, d 2, ...d 3）T 。 求证: 易见，问题（P 1）的对偶问题与问题（P 2）的对偶问题具有相同的约束条件，从而，问题（P 1）的对偶问 题的最优解 令问题（P 2）的对偶问题的最优解为 一定是问题（P 2）的对偶问题的可行解。 ，则: 。 ，是负指数服务时间 的一半; （2）定 因为原问题与对偶问题的最优值相等，所以 4． 对于单服务台情形，试证: （1）定长服务时间长服务时间【答案】对于 是负指数服务时间 排队系统， 的一半。 当k=l时，则 变成M 分布，即上式指标变成M/M/1排队系统指标，即 当k →∞时，则 分布变成D 分布，即上式指标变成M/D/l排队系统指标，即 第 3 页，共 23 页 所以，定长服务时间 的一半。 5． . 令试证 【答案 】 为一组 使得 用 左乘上式，并且由共轭关系可知： 令由 知BA=E，所以故得证。 6． 车间内有m 台机器，有c 个修理工（m>c），每台机器发生故障率为兄，符合M/M/c/m/m模型， 试证: 【答案】由题设知 一个周期T c 等于发生故障的机器在系统中的逗留时间W s 加上机连续正常工作时间 为 服务台繁忙的概率。服务台繁忙的概率也为 ，所以 。 ， 则 并说明上式左右两端的概率意义。 。 A 共轭向量，它们必线性无关。 则 。 ，A 为为一组A 共轭向量（假定为列向量） 对称正定矩阵， ， 是负指数服务时间 的一半; 定长服务时间 是负指数服务时间 第 4 页，共 23 页