题目：三维模型的稀疏表示及应用

压缩传感是近几年流行起来的一个介于数学和信息科学的新方向，由 Candes、Terres Tao 等人提出，为信号采集技术带来了革命性的突破，它指出具有稀疏或可压缩表示的信号可从极少的非自适应线性测量完美重构。压缩传感理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注，在信息论、图像处理、地球科学、光学/微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度重视。随着稀疏表示和压缩传感理论研究工作的深入，人们发现，将稀疏性引入现有算法可以极大地提升算法的效果。稀疏性具有很多优秀的特性，比如保持信号的尖锐特征、对噪声及外点鲁棒等，而尖锐特征、噪声及外点的处理在计算机图形学中一直是一个重点及难点问题。本文围绕点云模型去噪与重构、点云模型法矢估计、三维模型协同分割等问题，深入研究了压缩传感理论的相关技术和理论背景，提出了基于稀疏表示的三维模型处理算法，主要研究成果如下：

1、 给出了三维点云的变分稀疏表示方法，提出了一种基于变分稀疏表示的点云模型去噪与重构算法及其快速解法，并将该方法应用于非流形曲线族重构问题。点云模型中的点具有多种属性，比如位置、法矢、曲率、纹理、材质等，位置和法矢是其中最重要的属性。对分片光滑的三维模型，位置和法矢可看作两个分片光滑的信号。法矢信号的稀疏表示由相邻点对的法矢差得到，而点集位置的稀疏表示由相邻点对连线在其平均法矢上的投影得到。通过稀疏重构方法可以重构出正确的法矢和位置信号。本文给出的稀疏重构算法非常快速，可将问题进行分解并行执行，能大大降低重构问题的运行时间，使其具有实用价值。实验表明，本文方法能在去噪的同时保持模型中的尖锐特征，具有对噪声鲁棒、全局最优等特点。

2、 分析了低秩表示与鲁棒主成分分析之间的关系，就低秩表示在低维空间的可行性给出了一个结论，并据此提出了一种基于子空间分割的鲁棒点云法矢估计方法及其加速算法。法矢是点云数据最重要的特征之一，它与模型渲染、特征提取、曲面重构等问题都有紧密的联系。点云模型中任意一点的 k 邻域可用多个平面的并集进行近似，对其中任意一个平面上的点，其法矢落在一条直线上。通过低秩表示对邻域点集的法矢所在直线进行分割，可得到鲁棒的局部分类结果。加速的低秩表示求解算法可在保持精度的情况下大大提高求解速度。实验表明，本文方法可以处理尖锐模型和光滑模型，能使用较小的邻域得到高质量的法矢估计结果，具有对噪声鲁棒、对参数不敏感等特点。

3、 提出了一种基于稀疏低秩表示的多视图聚类方法，对一组相似的三维模型进行协同分割。三维模型的分割是一个基础且重要的问题，但由于单模型方法缺乏足够的几何线索导致其表现不佳。协同分割是指同时对一组相似的模型进行分割，与单模型分割相比，由于可从多个模型上提取更丰富的信息，因而能得到更好的分割结果。三维模型的不同特征反映了模型上不同的几何性质，本文方法融合多种几何特征能有效地提升分割质量。对单一特征（视图） ，通过稀疏低秩表示求解一个鲁棒的单视图表示。对多个表示图使用协同训练方法得到一个统一的表示，最终分割结果通过谱分割得到。本文方法是一种无监督的协同分割方法，不需要训练集；在表示图的构造中同时考虑了全局低秩约束以及局部稀疏约束，对噪声和外点鲁棒；由于融合多种几何特征，对形状和拓扑变化不敏感。实验结果表明，提出的方法能在相似模型上得到高质量的一致分割结果。