● 摘要
拟阵是图、矩阵、向量相关关系等概念的抽象和推广,它在组合优化、整数规划、网络流及电网络理论中有着广泛的应用.拟阵和拓扑空间有许多相似之处,它们都是带结构的集合,都有开集、闭集、闭包、连通性等概念.本文基于拓扑学、偏序集理论和范畴论的思想和方法,研究了拟阵的三个方面,即有限拟阵的分离性、任意拟阵的序方面以及T_1弱拟阵的范畴性质.论文要点及主要内容如下:
一、定义了有限拟阵的T0, T1, T2,正则及正规分离性,详细地讨论了诸分离性之间的关系,并且证明了T0, T1, T2和正则分离性是遗传的,正规分离性是闭遗传的.
二、对于给定的集合S,证明了可以给C(S) (即S上的拟阵极小圈系的全体)、B(S) (即S上的拟阵基的全体)、R(S) (即S上的拟阵秩函数的全体)、CL(S) (即S上的拟阵包算子的全体)和F(S) (即S上的拟阵闭集族的全体)上定义适当的序关系使它们成为 与(I(S), subseteq) 同构的偏序集(其中
I(S)是S上的拟阵独立集系的全体).
三、定义了T1弱拟阵并研究了它的范畴性质.主要结果是: (1)证明了非平庸T1弱拟阵范畴NT1WM和T1弱拟阵范畴T1WM都是弱拟阵范畴WM的双反射子范畴. (2)证明了NT1WM是笛卡儿闭的拓扑范畴、T1WM是弱拓扑范畴. (3)给出了NT1WM和T1WM中乘积、余积、等化子、余等化子、逆极限和定向极限的构造.
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