● 摘要
Aluthge变换, 数值域, 投影与Drazin逆是近年来算子论最活跃的研究课题中的一部分. 在算子论的研究中有着重要的理论价值和应用价值. 对于有关这方面的研究涉及到了基础数学和应用数学的许多分支, 诸如几何理论, 算子扰动理论, 矩阵理论, $C^{*}$-代数, 数值分析, 系统论和量子物理等等, 通过对它们的研究可使得算子结构的内在联系变得更清晰, 使得有关算子论课题的研究具有更加坚实的基础.
本文研究内容涉及无限维Hilbert 空间上有界线性算子的广义Aluthge变换和广义*-Aluthge变换的各种谱, 数值域, 本性数值域和无限维Hilbert 空间上正交投影的积与差的Drazin逆的存在性, 正交投影的可交换性等几个方面的内容. 在对有界线性算子及其广义Aluthge变换和广义*-Aluthge变换的数值域方面的研究, 给出了更为一般的结果, 推广了吴培元在文献[1]中的两个结果. 在投影方面, 给出了正交投影的积与差的Drazin可逆的等价刻画及其具体表示. 此外, 还对正交投影的可交换性, 进行了一些初步的研究, 全文共分为四章, 具体内容如下: 第一章作为全文的预备知识. 第一节主要介绍了Moore-Penrose逆, Drazin逆, 算子的升降标及B-Fredholm算子等概念. 第二节主要给出了一些熟知的定理或已经被证明的定理, 如谱映射定理.
第二章主要讨论了$mathcal{B(H)}$上算子的广义Aluthge变换和广义*-Aluthge变换的各种谱, 数值域, 本性数值域及三者之间的关系.
第三章通过对算子及其广义Aluthge变换谱关系的研究, 得出修正的Weyl定理(resp. a-weyl定理)对算子成立当且仅当修正的Weyl定理(resp. a-weyl定理)对算子的广义Aluthge变换也成立. 第四章利用分块算子矩阵的技巧, 刻画了Hilbert空间上正交投影$P$和$Q$的积与差的Drazin逆存在的充分必要条件, 并给出了它们的Drazin逆的具体表达形式. 同时, 我们发现了一个有趣的结果: 正交投影的积(resp. 差)的Drazin可逆性与正交投影的积(resp. 差)的Moore-Penrose可逆性是一致的. 最后, 还考虑了两个正交投影可交换的等价条件. 得出了如果两个正交投影的积的谱集只有0和1, 那么它们可交换. 如果两个正交投影的积是EP算子, 那么它们可交换.