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一、简答题

1． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

2． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：

3． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

4． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

5． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

6． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

7． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关； （4）由于电子具有自旋。

8． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

9． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

10．斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

依题意

二、证明题

11．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

并在方程两边同时积分

又

则

则由正交归一化条件有

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为

试证明这两个波函数对应的态矢正交.

是束缚态的波函数，

态矢为态矢为

即

Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有

此即亦即两个波函数对应态矢正交.

12．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

三、计算题

13．—体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。

【答案】至二级修正的能量公式为

其中

分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得

n=2时，将m=l, 3代入II 式可得

n=3时，将m=l, 2代入II 式可得

再分别由I 式、III 式、IV 式和V 式可得

14．验证球面波

满足自由粒子的薛定谔方程：

（注：【答案】

故

现在受到微扰的作用，

微扰矩阵元为

和c 都是实数. 用微扰公式求

其中代表仅与角度有关的微分算符）