2018年厦门大学萨本栋微米纳米科学技术研究院820量子力学考研仿真模拟五套题
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一、简答题
1． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
2． 厄米算符的本征值与本征矢
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
3． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
的本征态
时，算符对
的作
时，算符对态
用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即
4． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
5．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
6． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
7． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？ 受激辐射是处于激发能级
的原子被一个频率为
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的对易关系.
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
的光子照射，受激发而跃迀到较
低能级同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
的。
8． —个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
9． 已知为一个算符满足如下的两式问何为厄密算符？何为么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
10．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
二、计算题
11．在
表象中，
求自旋算符在
表象中的矩阵表示为：
则
的本征方程为：
a 、b 不全为零的条件是久期方程：
解得：故
的本征值为：时的本征函数为：
时的本征函数为：
将本征值代入①式，可得：
方向投影算符
的本征值和相应的本征态。
【答案】在
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12．设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数
中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应
也属于正幂次级数，故有定态方程
【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而
式中：
则I 式可以化为：令
上方程可化简为
式解得
则
其中C 为归一化常数。
13．考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方
本征值为
空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函
的本征值为
本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为
数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符
）。 【答案】利用应能量：
对应能量：
可知，空间部分波函数反对称时：
对
空间部分波函数对称时：
14．已知在象到
表象中，的本征函数为：
则由表
表象的变换矩阵S 是什么？
【答案】
15．（1）求算符【答案】⑴
的对易关系. （2）证明其中
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