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一、填空题

1． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

2． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

则

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

3． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】

4 设体系的状态波函数为．量

的关系为_____。

如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢

【答案】

二、证明题

5． 证明，

【答案】因为

可得：

6． —粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

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是束缚态的波函数，

试证明这两个波函数对应的态矢正交.

并在方程两边同时积分

又

则

则由正交归一化条件有

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为

态矢为态矢为

即

Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有此即

亦即两个波函数对应态矢正交.

三、计算题

7． 一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有

又在边界处应该满足连续条件故

由归一化条件有故对应能量为

8． 对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.

【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为

S 为自旋波函数.

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中运动，求粒子的能级和对应的波函数.

可分离变量得

最终解得

代表例子自旋朝上和朝下两种状态.

由于粒子自旋此时并不会对粒子能量产生影响，故

粒子能量基态：对应波函数为：例子第一激发态能量：对应波函数有：

第二激发态能量：对应波函数有：

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