● 摘要
算子代数理论产生于20世纪30年代, 随着这一理论的讯速发展, 现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支. 它与量子力学, 非交换几何, 线性系统和控制理论, 甚至数论以及其它一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透. 为了进一步探讨算子代数的结构, 近年来, 国内外诸多学者对算子代数上的线性映射进行了深入研究, 并不断提出新的思路. 例如, 初等映射以及线性保持问题等概念先后被引入, 目前这些映射已成为研究算子代数不可缺少的重要工具. 而可加保持问题的研究是近年来算子理论和矩阵理论中的重要课题. 在解决保持问题时常用的一种方法就是把所给的问题转化为保秩, 秩不增, 保秩一幂零, 保秩一幂等等可加映射来刻画问题. 在Banach空间情形, 这些问题已经被很多数学家讨论过, 并获得许多深刻的结果. 本文主要对矩阵代数中的Hermitian矩阵空间上的保秩一可加满射, 交错矩阵到全矩阵的保反立方幂等线性映射, 以及从对称矩阵到交错矩阵的保最小秩可加映射进行了讨论. 具体内容如下：
(1) 令Hn(C) 是复数域 C上的Hermitian矩阵空间, 我们对Hermitian矩阵空间Hn(C)上保秩一的可加满射Φ进行讨论. 得到了Hermitian矩阵空间Hn(C)上的保秩一的可加满射Φ的形式, 给出了Φ保可逆元时的形式, 以及保行列式时的形式.
(2)令K2n(F)是特征不为2, 3的域F上的交错矩阵空间, 我们对从交错矩阵K2n(F)到全矩阵Mm(F) 的保反立方幂等的线性映射T进行了讨论. 给出了从交错矩阵K2n(F)到全矩阵Mm(F)的保反立方幂等的线性映射T的形式, 并给出了从交错矩阵K2n(F) 到交错矩阵Km(F)的保反立方幂等的线性映射T的形式2n≤m.
(3)令Sn(F)是特征不为2的域F上的对称矩阵, 我们对从对称矩阵Sn(F)到交错矩阵K2n(F)的保最小秩可加映射Φ进行了讨论. 并给出了从对称矩阵Sn(F)到交错矩阵K2n(F)的保最小秩可加映射Φ的形式.
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