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一、简答题

1． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

2． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为测不准关系为

3． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

4． 写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】

5． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

6． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

依题意

7． 写出电子在外电磁场【答案】

中的哈密顿量。

8． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

9． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

10．完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

二、证明题

11．粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

，（常数）

同理，可得

因此：

12．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

所以

所以有：

试证明

的不确定关系

：

三、计算题

13．相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。 【答案】相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例

如

相互不对易，但

就是它们的共同本征态，本征值皆为

14．简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

15．设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成

所需的最短时间

任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由

得，

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：

在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为

（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设时刻粒子的波函数是

处于第一激发态的几率

即

可得

所以当n=l时有最小时间，即

解得