题目：两类生物扩散模型的共存态与定性分析

本文所研究的问题涉及两类生物动力学模型, 一类Leslie型的捕食-食饵模型和一类具有非单调发生率的SIR传染病模型.主要运用非线性分析和非线性偏微分方程的知识,特别是抛物型方程和对应椭圆型方程的理论方法, 讨论了模型解的共存态、正性、有界性和稳定性.
本文通过分歧理论, 能量积分方法等研究了带有齐次Neumann边界条件的捕食-食饵模型$$left{ egin{array}{ll} u_{t}-d_1Delta u=u(1-u)-frac{u^2v}{mv^2+u^2}, & (x,t)in Omega imes mathbb{R}^{+},\ v_{t}-d_2Delta v=av(b-frac{v}{u}), & (x,t)in Omega imes mathbb{R}^{+},\ frac{partial u}{partial n}=frac{partial v}{partial n}=0, & (x,t)inpartialOmega imes mathbb{R}^{+},\ u(x,0)=u_{0}(x)geq 0,v(x,0)=v_{0}(x)geq 0, & xin Omega; end{array}  ight.$$通过Hurwitz-Rouch'{e}判别法、上下解方法和比较原理研究了带有齐次Neumann边界条件的SIR传染病模型$$left{ egin{array}{ll} frac{partial S}{partial t}-DDelta S=b-dS-frac{kSI}{1+alpha I^{2}}+gamma R, & (x,t)in Omega imes mathbb{R}^{+},\ frac{partial I}{partial t}-DDelta I=frac{kSI}{1+alpha I^{2}}-(d+mu)I, & (x,t)in Omega imes mathbb{R}^{+},\ frac{partial R}{partial t}-DDelta R=mu I-(d+gamma)R, & (x,t)in Omega imes mathbb{R}^{+},\ frac{partial S}{partial n}=frac{partial I}{partial n}=frac{partial R}{partial n}=0, &(x,t)in partialOmega imes mathbb{R}^{+},\ S(x,0)=S_{0}(x)> 0,I(x,0)=I_{0}(x)> 0,R(x,0)=R_{0}(x)> 0, & xinOmega. end{array} ight.$$
本文主要内容如下:
第一章主要给出了捕食-食饵模型和传染病模型的生物背景和发展状况, 并给出了相关的研究成果.
第二章研究了一类基于比率依赖的Holling-Leslie捕食-食饵扩散模型.首先, 以扩散系数$d_2$为分歧参数, 运用分歧理论和Leray-Schauder度理论的知识, 讨论了对应平衡态模型在正常数平衡态附近的分歧现象并给出了分歧点附近解的结构;其次, 证明了该局部分歧可以延拓为全局分歧并给出了一维情况下全局分歧解的性态;最后, 给出了非常数正解不存在的充分条件.
第三章研究了一类具有非单调发生率的SIR传染病模型.首先, 给出了模型解的有界性和全局吸引域; 接着, 运用Hurwitz-Rouch'{e}判别法,讨论了对应模型无病平衡态和地方病平衡态的局部渐近稳定性;最后, 通过上下解方法和比较原理说明: 当常数输入率足够大时, 地方病平衡态是全局渐近稳定的;当常数输入率或者接触率足够小时, 无病病平衡态是全局渐近稳定的.