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2010年北京大学硕士研究生入学考试 考试科目：计算机数学基础 考试时间：2010.1.11

招生专业：计算机科学与技术 研究方向：

说明：答题一律写在答题纸上（含填空题、选择题等客观题），写在此页上无效。 高等数学部分（共60分）

1、（12

分）求x α+β其中α, β>0

2、（12分）f (t ) =(tanπt

4−1)(tanπt 2

4−2) L (tanπt 100

4−100) 求f ' (1)

3、（12分）f (x ) 在[0,π]上连续，(0,π) 内可到，且f (0)=0，证明∃ξ∈(0,π) 使得2f ' (ξ) =tan ξ

2f (ξ)

∞n k

−14、（12分）设函数Z (k ) =∑

n =0n !

（1）求Z (0)，Z (1)，Z (2)的值；

（2）证明当K 取正整数时Z (k ) 也为正整数

πsin x cos x 25、（12分）证明：∫2≤∫01+x 2 01+x 2π

集合论与图论部分（60分）

1（20分）设集合A 非空，定义A →A （或A ）上的二元关系R 如下： A

∈R ⇔ran f =fan g

试证明：

（1）R 是等价关系；

（2）(A →A ) /R ≈P (A ) −{∅}

2（10分）是否存在两个集族A ≠B 使U A =B 并且U B =A ？为什么？

3（30分）设有向图G =<{1, 2, L n },{|i 和j 同奇偶，或i 和j 不同奇偶}> 试回答以下问题：

（1）G 是竞赛图吗？为什么？

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