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一、分析计算题

1． 某机械动力学系统如图所示（不考虑轮子与地面的摩擦）：

图

其中，物体的质量为m （千克），弹簧刚度为k （牛顿/米），阻尼系数为（t ）为外作用力，为系统输入；y （t ）表示位移，为系统输出。

（1）列写系统以位移和速度为状态变量的动态方程； （2）若y （t ）的表达式。

【答案】（1）根据题给物理环境，列系统微分方程式为

整理得

设

则有

求当

初始条件

时状态方程的解及

u

故系统动态方程为

（2）【解法一】

将题给参数代入系统动态方程，整理得

初始条件为

系统状态转移矩阵为

状态方程的解为解得则输出

【解法二】 由

可知

其中

代入上式得

对上式进行拉氏反变换得则输出

2． 以

为状态变量，写出如图所示系统状态空间表达式，并计算系统的极点。

图

【答案】由题意可得

整理可得

系统的状态空间表达式为

A 的特征根即为系统的极点

得到

3． 如图1a 所示控制系统。

图1

（1）希望系统所有特征根位于S 平面s=-2左侧区域，而且上的分布范围（阴影表不）；

（2）当特征根处于阴影范围内时，试求K 和T 的取值范围； （3）试求单位斜坡输入时系统的稳态误差；

（4）如图1b 所示，串入一个比例微分装置，使系统对单位斜坡输入的稳态误差为零，求值。

【答案】（1）由系统动态性能与特征根之间的关系，满足要求的特征根分布如图所示。

大于0.5, 画出特征根在S 平面