2018年仲恺农业工程学院种质资源保护与利用314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
3． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
贝
因为A 是
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵
，
其中
是齐次方程组
故秩
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
是4
维列向量.
若齐次方程组Ax=0的
的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故都是
的解
.
由
线性无关. 由
是
得
的基础解系.
那么
二、计算题
5． 用克拉默法则解下列方程组：
（1）
（2）
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【答案】（1）
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