题目：关于框架的若干问题的研究

　　小波分析中的框架通常是指由Hilbert空间中的满足某种特性的一 向量组成的集合。框架具有正规正交基的一些性质，框架是正规正交基的一般推 广。本文的研究内容涉及Hilbert空间中的框架、Banach空间中的框架与Hilberi Ｃ°-模中的框架三个方面的内容。在Hilbert空间中，系统研究了Hilbert空间中 的广义框架、子空间框架及Hilbert空间Lˉ2(R)和Lˉ2(Rˉn)中一类特殊类型的广义 框架一正规窗口Fourier变换。在Banach空间中，深入研究了Banach空间中的 广义框架的一系列性质。最后，我们研究了Hilbert Cˉ*木一模中框架的一些重要性 质。全文共分五章： 　　第一章首先引入Hilbert空间H中的Bessel集、正规紧广义框架、独立广义框 架及对偶广义框架，给定Bessel集，利用算子T_h：H→Lˉ2(u)， 讨论了它们的等价性质，T_h分别是有界算子、等距算子及可逆算子当且仅当h 分别是Bessel集、正规紧广义框架及独立广义框架。深入研究了广义框架的稳定 性，也就是设｛h_m｝m∈M}是H中的广义框架、正规广义框架及正规紧广义框架， 探讨当算子V满足什么性质时，k＝｛Vh_m｝_m∈M是H中的广义框架。然后引 入了广义框架算子和等范数广义框架这两个新概念，得到了广义框架、正规紧广 义框架及广义框架算子的等价关系，给出了H中任一向量f都可以表示成形式 ∫g(m)h_mdμ(m)。证明了等范数广义框架的一些性质。最后引入广义框架的非交 性、强非交性、保非交算子及强保非交算子这些新概念，给出了它们的一些重要 性质。 　　第二章运用泛函分析中算子理论方法，研究了Hilbert空间中的子空间Bessel 列和子空间框架。通过引入有界线性算子，建立了Hilbert 空间中的Bessel列、子空间框架与其算子空间中相应算子之 间的关系，并且获得这些序列的完全刻画。以此作为工具，用Hilbert空间日中 的范数和内积来度量“接近”，得到子空间框架的摄动性质，即设｛Ｗ_Ci｝i∈N。是H中 关于正权数列｛v_i｝i∈N的一个子空间框架，且｛W_i｝_i∈N是日中接近于｛W_i｝_i∈N的 一列闭子空间，则｛W_i｝_i∈N也是H中关于正权数列｛V_i｝i∈N的一个子空间框架。 最后利用有限维逼近方法，给出了子空间框架算子的逆算子的逼近公式。 　　第三章研究一类特殊类型的广义框架｛gˉε，t：(ε，t)∈Rˉ2｝，gε，t(u)＝g(u- t)e2πiεu，g∈Lˉ2(R)。引入并研究了Hilbert。空间Lˉ2(R)上正规窗口Fourier变换及 其部分逆变换，讨论了一个Lˉ2(R)函数的正规窗口Fourier变换的连续性与有界 性，证明了正规窗口Fourier变换的等距性质，并且利用部分逆变换给出Lˉ2(R) 中函数f的反演公式。此外，我们将Lˉ2(R)函数的正规窗口Fourier变换推广到 Lˉ2(Rˉn)空间上，系统研究了Lˉ2(Rˉn)函数的正规窗口Fourier变换的连续性与有 界性，给出了一个Lˉ2(Rˉn)函数在弱收敛意义下以及在强收敛意义下成立的反演 公式。 　　第四章引入并研究了Banach空间X中的Bessel集、广义框架、广义Riesz 基及广义框架算子。对X中的任一Bessel集｛g_m｝_m∈M，定义有界线性算子T： Lˉ2(μ)→X，利用算子T，给出Bessel集与广义框架的等价刻画。利用Banach 空间X与其对偶空间Xˉ*中的有界线性算子的性质，证明了Banach空间X中 广义框架算子是线性同胚，并且讨论了Banach空间X中Bessel集和广义框架的 稳定性。最后，以Banach空间X中的范数作为度量工具，获得Banach空间X 中广义框架和广义Riesz基的摄动性质。 　　第五章引入Hilbert Cˉ*－模н中的Bessel序列这一新概念。利用A一值线性 算子T：H→lˉ2(A)，刻画了H中Bessel序列、框架、正规紧框架及两个互为 对偶的框架。讨论了A-值线性、有界、可逆及正的框架算子S＝Tˉ*T的等价性 质，同时说明了模H的框架及它的典型对偶框架是正规紧框架的充分必要条件 是框架算子S＝I。本章还引入Hilbert Cˉ*模H的弱Bessel序列与弱框架的概 念，利用A值线性算子T：H→1ˉ2(A)，给出模H的弱Bessel序列、弱框架、 正规紧弱框架及两个互为对偶弱框架的等价刻画。利用满足条件Vˉ*U＝I的有 界A值线性算子U：H→1ˉ2(A)，给出构造模H中弱框架｛x_j｝_j∈J的对偶弱框 架｛xˉ*_j｝j∈J的一个有效方法，从而得到弱框架的一个框架分解。