2017年哈尔滨工程大学理学院826高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体. 问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大?
【答案】设矩形的一边长为x ，则另一边长为p-x ，假设矩形绕长为p-x 的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为
由
求得驻点为
。
和时，绕
由于驻点唯一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为短边旋转所得圆柱体体积最大.
2． 判断下列反常积分的收敛性：
（1）（2）（3）（4）
的瑕点，而
收敛，故
的瑕点，而
收敛，因
，因此
【答案】（1）x=0为被积函数敛，又由于
，而
收
收敛。 因此
x=2为被积函数（2）
收敛，又由于
（3）
又由于收敛，因此
，因此收敛，故
收敛。
，而收敛。
收敛。故收敛，即绝对
（4）x=0，x=1，x=2为被积
函数
，，因此
3． 计算下列曲面积分：
故
的瑕
点
收敛，又由于
收敛，故
收敛。
，
，其中是界于z=0及z=H之间的圆柱面
，
的外侧；
，其中为半球面
，其中为球面
【答案】（1）将分成zOx 面上的投影区域均为
1和
2两片，
1为
；
其
中
为
锥
面
的上侧；
的外侧。 ，
2为
，1和2在
又由于被积函数关于y 是偶函数，积分曲面
1
和
2关于
zOx 面对称，故
由此得
（2）添加辅助曲面
所包围的空间闭区域上应用高斯公式得
，取上侧，则在由
和
1
于是
其中在计算
。
时，由对称性易知
故
从而得原式（3）添加辅助曲面所围成的空间闭区域
上应用高斯公式得
，取下侧，则在由
和
1
于是
（4）解法一：将分成为
1
和
其中2两片，
取下侧。（图）。于是
1
和
2在
取上侧；
xOy 面上的投影区域均