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一、简答题

1． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

2． 现有三种能级【答案】一维谐振子．

3． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为

4． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

用算符的本征函数

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态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

二、计算题

5． 一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应，

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式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .

一级修正能量

故由微扰引起的能级移动为

6． Q 表缘的基矢有两个：

算符有如下性质：

（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为

求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值. 二级修正能量

【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元

.

设其本证函数为则有由久期方程

对应本征函数为

对应本征函数为

解得

再代回

可得

（2）粒子的力学量由题意

可能取值即其本征值.

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