2018年广州大学数学与信息科学学院834微积分与线性代数之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
3．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
4．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
当a=-1
及a=0
时，方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，
则当g=0时，则
值的特征向量.
由
知
线性相关
，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ）
知
的基础解系
，即为
的特征向量
二、计算题
5
． 已知向量组A :
【答案】
记矩阵因
A 组与B 组等价
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩.
即知R （B ）=R（B ，
A ）=2, 且，
因此，向量组A 与B 等价.
6． 说明：xOy 平面上变换
（1）（2）（3）
的几何意义，其中
又与不成比例，
故R （A ）
=2.
B ：
证明A 组与B 组等价，
相关内容
相关标签