● 摘要
小波分析（Wavelet Analysis）是当前应用数学和工程数学中一个飞速发展的新领域, 是在Fourier分析之后的又一个伟大的创举, 它可以解决Fourier分析所不能解决的的许多难题, 而且还给当前的理论科学, 应用科学等许多领域提供了强有力的工具, 且对非线性问题, 智能计算, 网络与信息安全等方面有着很好的推动作用.
本文是关于-伸缩正交多分辨分析（OMRA）小波的一些研究, 该OMRA小波的概念最先是由Qing Gu及Deguang Han在文献[13]中给出的. 它由最原始的MRA的定义及小波集的思想发展而来的. 因此, 该类小波可以同时具备小波集及MRA小波的一些优势, 如可以很容易地构造小波算例或反例, 也可以利用OMRA多小波构造同时具备正交性, 紧支撑性及对称性等良好的性质的小波.
众所周知, 两尺度方程在小波分析, 信号处理和计算机图形等学科中起着重要的作用. 满足两尺度方程的函数称为尺度函数. 因此, 通过构造尺度函数进而得到小波是构造小波的一个非常重要的途径.
本文首先讨论了高维空间中-伸缩OMRA小波的定义及其基本性质, 并根据这些性质证明了-伸缩OMRA小波的存在性, 还给出了这种小波的一种构造方法. 其次本文着重研究了-伸缩OMRA小波的构造方法及二维空间中, 具有紧支撑的正交多小波的构造方法, 并得到相应的结果, 这些结果推动了-伸缩OMRA小波理论的发展. 本文由四部分构成:
第一章, 绪论. 简要介绍了小波分析理论的产生和发展过程以及-伸缩OMRA小波理论的发展现状.
第二章, -伸缩小波集及-伸缩小波集的性质. 首先给出了一维空间中小波集的基本定义和基本性质；然后引进高维空间中-伸缩OMRA小波的定义并得到了一些相关的结论.
第三章, -伸缩OMRA小波及其存在性. 首先给出了-伸缩OMRA小波的一些相关知识, 并由此建立了-伸缩正交多分辨分析, 通过-伸缩正交多分辨分析的定义得到了-伸缩OMRA小波, 并研究了其构造过程, 并给出了相应的算例, 最终得到了-伸缩OMRA小波存在性的相关结论.
第四章, 具有紧支撑性的OMRA小波的构造. 在二维空间中, 利用-伸缩正交多分辨分析的定义, 给出了-伸缩尺度函数和小波函数的定义, 并研究了其相关的性质. 最后给出了一种具有紧支撑的OMRA小波的构造方法.