● 摘要
伴随小波分析理论不断发展成熟，小波分析的应用研究也逐步渗透到各领域，在诸如信号处理、图像压缩、模式识别、语音编码、数字水印、指纹鉴别、地震勘测、通信等领域都已取得大量研究成果。之所以出现这种局面，原因主要是小波在时域和频域同时具备良好的局部化性质，能将信号分解为交织在一起的多尺度成分，从而聚焦到研究对象的所有微小细节。小波分析也因此被誉为数学中的“显微镜”。小波分析的时频局部化特性、尺度变化特征和方向性特征与地理数据的多比例尺表达有着不可分割的内在联系。特别是小波多分辨分析（Multiple Resolution Analysis, 简称MRA）可通过对数据的多分辨分解得到不同分辨率下的数据表达，正好满足DEM数据多比例尺表达的需要；另外，小波分解可以量化，故可以为多尺度DEM数据的量化描述和综合分析提供客观依据，从而从数量化的角度解释DEM数据多尺度变化的规律。数字高程模型是地貌高程的数字表示，是地理信息系统（Geographic information system，简称GIS）中赖以进行三维空间数据处理与地形分析的核心数据。不同比例尺与分辨率的DEM数据的信息量与精度存在巨大差异，改变高程的采样间隔或分辨率会影响诸如坡度、坡向、汇水区等地形属性的分析。高精度DEM数据的生成受成本高、存储难等因素制约，本文就此提出一种生成DEM数据的方法可以较好地解决这个问题。以格网DEM数据为基础提取地貌因子是三维地形分析中的重要内容，本文针对面积、体积这两个因子，提出新的提取算法。这种提取算法充分考虑了地势起伏的影响，并将这种影响落实到每个DEM单元，避免了传统算法用函数拟合整个研究区域再计算面积误差较大的弊端。本文将小波多分辨分析引入多尺度地貌表面积、体积规律的研究，利用小波变换对研究区域的地貌建立多尺度序列，以回归分析为工具，揭示这两个地貌因子随尺度变化的内在规律，为实际工作提供理论指导。需要说明的是，以上拟合模型是有比例尺区间约束的，在区间外不一定能使用这些模型做预测；同时，模型是地貌依赖的，即不能用来描述其他地貌结构的面积（体积）尺度依赖关系。这两点局限是由于地貌自身特点决定的，不同地貌差异很大，一个模型只能针对一种地貌进行描述。此项工作也拓宽了小波分析理论的应用范围，推动了其进一步发展。本文包括以下部分：第一章，简述问题提出的背景，综述小波分析理论在地理学中的应用状况，及多比例尺地貌的面积（体积）规律的研究现状，概述基于小波分析理论的地貌表面积、体积多尺度规律研究内容、方法与技术路线。第二章，介绍小波与多分辨分析的基本概念、构造正交小波函数的快速算法（Mallet算法）及常用正交小波函数，重点阐述二维多分辨分析理论及二维Mallet算法。第三章，介绍数字高程模型的定义、研究内容、数据获取与建立DEM模型的方法。在此基础上，提出双向剖面快速生成数字高程模型的算法，该算法精度易由剖分间距大小自由控制。针对地貌特征，给出提取三维地形因子——表面积、体积的算法。第四章，介绍小波多分辨分析与地貌数据（DEM）的多比例尺表达之间的内在联系，并结合地貌实例，给出多尺度地貌序列和多尺度地貌因子序列。在地貌的自相似性与标度不变性理论指导下，提取实验地貌的总面积（总体积）序列的多尺度规律和坡度分级后0~3°坡段的面积（体积）序列的多尺度规律。最后，总结本文工作，对进一步的研究进行展望。