题目：完全正映射的不动点与算子乘积的逆序律

算子方程是算子理论与算子代数中的一个热门分支, 很多物理, 最优化理论等学科中的问题都可以抽象为线性或者非线性的算子方程的求解问题. 对特殊类型的算子方程的研究, 已成为算子代数中非常活跃的研究领域. 本文主要研究两类常见的算子方程, 完全正映射的不动点方程和 ~Moore-Penrose 方程.
完全正映射是算子代数中重要的研究对象, 尤其是近年来保迹完全正映射作为量子力学中量子信道的数学刻画, 使得关于完全正映射的研究再度激起很多学者的极大关注. 本文主要考虑由算子列所决定的完全正映射.设 ~$cal H$ 是复可分希尔伯特空间, $cal B(H)$, $cal B(K,H)$~分别表示~$cal H$~上的和从~$cal K$~到 ~$cal H$ 上的有界线性算子构成的~Banach~空间.  记 ~$J $ 为一个有限或可数指标集. 如果算子列~$mathcal A={A_k}_{kin J}subset {mathcal B}(mathcal H)$ 满足~$sum_{kin J} A_k A_k^*leq I$, 那么称 ~$mathcal A$ 是 一个行压缩, 其中当~$J$ 是可数指标集时, 级数和按强算子拓扑收敛. 由行压缩~$mathcal A$ 可以决定~ $mathcal B (mathcal H)$ 上一个完全压缩的正规的完全正映射 ~$Phi_{mathcal A}:$  $$Phi_{cal A}(X)=sum_{kin J} A_k X A_k^*, forall Xin {mathcal B}(mathcal H). $$此时也称~$Phi_{mathcal A}$ 是一个量子运算. 若同时有 ~$sum_{kin J}A_k^*A_k leq I$ 成立, 则映射  $$Phi_{cal A}^+(X)=sum_{kin J} A_k^* X A_k, forall Xin {mathcal B}(mathcal H),$$  称为 ~$Phi_{mathcal A}$ 的对偶运算. 如果算子~ $Xin {mathcal B}(mathcal H) $  满足算子方程~ $Phi_{mathcal A}(X)=X $, 则称~$X$ 为 ~$Phi_{mathcal A}$ 的不动点.  记 ~ ${mathcal B}(mathcal H)^{Phi_{mathcal A}}$ 表示完全正映射 ~$Phi_{mathcal A}$ 的不动点之集.
本文首先利用算子分块技巧和扩张理论,探讨交换算子列的正规性及一般结构表示等问题, 并以此为基础研究完全正映射的不动点方程~ $Phi_{mathcal A}(X)=X $, 刻画交换行压缩所决定的完全正映射的不动点和对偶运算的不动点. 最后, 通过对空间的特殊分解研究 ~Moore-Penrose 方程, 讨论算子乘积的~${1,   3}$- 和~${1, 2, 3}$-逆的广义逆序律. 本文共分为四章, 主要内容如下：
第一章主要介绍本文研究主要内容, 研究的意义和现状, 并介绍本文要用到的一些符号, 概念和引理.
第二章主要研究交换算子列的正规性, 结构表示等问题. 首先利用交换行压缩的正规扩张, 结合算子分块技巧, 给出单位可交换算子列~$mathcal A$~是正规的一些充分条件. 从而说明这些条件下,  ${mathcal B}(mathcal H)^{Phi_{mathcal A}}={mathcal A}^{prime}$. 随后研究可交换算子列的提升问题, 给出保迹可交换纯行压缩的一个表示. 最后, 利用自伴算子谱分解, 讨论正规可交换算子列的换位, 证明等式 ~$(mathcal A cdot mathcal A)^{prime}=mathcal A^{prime}+{ m Iw}({mathcal A}, -{mathcal A})$ 恒成立, 其中  ~${ m Iw}(mathcal A, -mathcal A)={Xinmathcal B(mathcal H)| A_kX=-XA_k, forall k}$.
第三章主要探讨由交换行压缩所决定的完全正映射和对偶运算的不动点, 以及正映射的完全干扰点. 首先考虑广义量子运算~$Phi_{{mathcal A},{mathcal B}}$ 的不动点的提升, 给出一个很有用的结论: 当~ $Q_{mathcal A}=0$ 或 ~$Q_{mathcal B}=0$时, ${mathcal B}(mathcal K, mathcal H)^{Phi_{mathcal A, mathcal B}}={0}$ 成立.然后, 研究交换行压缩~$mathcal A$ 所决定的算子列~$Phi_{mathcal A}^{j}(I)$ 强算子拓扑收敛于一个投影的充分条件, 从而得出在这些条件下映射~$Phi_{mathcal A}$ 的不动点集的刻画,  ${mathcal B}(mathcal H)^{Phi_{mathcal A}}=Q_{mathcal A}{mathcal A}^{prime}Q_{mathcal A}$.在此还讨论算子列~$Phi_{mathcal A}^{j}(I)$ 强算子拓扑收敛于一个投影的充要条件, 并由此刻画保迹的可交换完全正映射的不动点. 随后, 探讨量子运算的完全干扰点, 给出一些其完全干扰点只有一个~$frac{1}{2}I$ 的充分条件. 最后在可对角化的算子集合上讨论量子运算和对偶量子运算的不动点的关系.
第四章利用特殊的空间分解研究两个算子乘积的广义逆序律. 给出当~$A, B$ 和 ~$ AB$ 都为闭值域算子时,~$B heta A heta= (AB) heta$,~$ hetain {{1,3}, {1,4}, {1,2,3},{1,2,4}}$ 成立的充要条件. 并且重新讨论算子乘积的~Moore-Penrose 逆, 刻画 ~$(AB)^{+} = B^+ A^+$ 成立的充要条件.