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青岛大学2011年硕士研究生入学考试试题

科目代码： 816 科目名称： 高等代数 （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效

一、(30分) 设ε1, ε2, ε3, ε4是四维线性空间V 的一组基, 已知线性变换A 在这组基下的矩阵为

0⎛1

⎜

⎜−12⎜12⎜

⎜2−2⎝

215⎞⎟⎟⎟ ⎟1−2⎟⎠

1

35

1) 求A 在基η1=ε1−2ε2+ε4, η2=3ε2−ε3−ε4, η3=ε3+ε4, η4=2ε4下 的矩阵; 2) 求A 的核与值域;

3) 在A 的核中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵; 二、（15分）t 取什么值时，下列二次型是正定的：

22

x 12+x 2+5x 3+2tx 1x 2−2x 1x 3+4x 2x 3

三、（15分）讨论λ取什么值时，下列方程有解，并求解.

⎧(λ+3) x 1+x 2+x 2=λ

⎪

⎨λx 1+(λ−1) x 2+x 3=2λ

⎪3(λ+1) x +λx +(λ+3) x =3

123⎩

四、（20分）设A 是一个n 阶矩阵，证明：

1）A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量X ，有X ′A X =0.

2）如果A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量X 有X ′A X =0，那么A =0.

五、（20分）欧氏空间V 中的线性变换Α称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，

有 (Αα，β）= —（

α，Αβ）

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