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一、简答题

1． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

2． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

3． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

4． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

二、计算题

5． 在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数

，

代表

（自旋向上）的状态波函数，

代表

简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态

代表自旋向上的概率

，

代表自旋向下的概率，归一化表示为

：

6． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则

也是

利用对易关系

的本征态.

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（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.

证明：若f 是

的共同本征

（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由

同理可得则

其

中

是

符号

，

的三个分量之间的关系通式为

：

（b ）

若f 是则

可见

是

和

的共同本征函数，本征值分别为

代入

的本征方程

的共同本征函数，可设

得

（c ）在球坐标中，

利用周期性边界条件由归一化条件可得

相应的本征方程为

可得

则的本征态为

7． 三个自旋为的全同粒子，在一维位势示）。

（2）它们的简并度分别是多少？ 【答案】（1）基态

第一激发态：

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中运动。

表

（1

）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以